Question

19．如圖，正方形ABCD中，以BC為邊向正方形內(nèi)部作等邊△BCE，連接AE并延長交CD于F，連接DE，下列結(jié)論：①AE=DE；②∠CEF=45°；③AE=EF；④△DEF∽△ABE，其中正確的結(jié)論共有（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 利用正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，想辦法求出相關(guān)角的度數(shù)，即可一一解決問題．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∵△EBC是等邊三角形，
∴BC=BE=CE，∠EBC=∠EBC=∠ECB=60°，
∴∠ABE=∠ECF=30°，
∵BA=BE，EC=CD，
∴∠BAE=∠BEA=∠CED=∠CDE=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠EAD=∠EDA=15°，
∴EA=ED，故①正確，
∴∠DEF=∠EAD+∠ADE=30°，
∴∠CEF=∠CED-∠DEF=45°，故②正確，
∵∠EDF=∠AFD=75°，
∴ED=EF，
∴AE=EF，故③正確，
∵∠BAE=∠BEA=∠EDF=∠EFD=75°，
∴△DEF∽△ABE，故④正確，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定、等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用正方形以及等邊三角形的性質(zhì)，通過計(jì)算角度解決問題，屬于中考常考題型．