Question

（2010•徐匯區一模）已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，過點B、C分別作AD的垂線，垂足分別為F、，E，CF和EB相交于點P，連接AP．
（1）求證：△ABF∽△ACE；
（2）求證：EC∥AP．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AD是△ABC的角平分線，過點B、C分別作AD的垂線，可得∠BAF=∠CAE，∠BFA=∠AEC=90°，根據有兩角對應相等的三角形相似，可得△ABF∽△ACE．
（2）由相似三角形的對應邊成比例，可得，即可得BF∥EC，由平行分線段成比例及其變形，即可得AP∥EC．
解答：證明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAE，
又∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFA=∠AEC=90°，
∴△ABF∽△ACE．

（2）由（1）有，
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴BF∥EC，
∴，
∴，
∴AP∥EC．
點評：本題考查了相似三角形的性質與判定，以及平行線分線段成比例定理．解題的關鍵是數形結合思想的應用，注意仔細識圖．