Question

17．如圖，以AB為直徑的⊙O與弦CD相交于點E，若AC=2$\sqrt{3}$，AE=3，CE=$\sqrt{3}$，求弧BD的長度．（保留π）

Answer 1

分析 連接OC，先根據勾股定理的逆定理得出△ACE是直角三角形，再由垂徑定理得出CE=DE，$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，由三角函數求出∠A=30°，由圓周角定理求出∠BOC，由弧長公式得出$\widehat{BD}$的長度=$\widehat{BC}$的長度=$\frac{2}{3}$π即可．

解答 解：∵AC=2$\sqrt{3}$，AE=3，CE=$\sqrt{3}$，
∴AE²+CE²=AC²，
∴△ACE是直角三角形，∠AEC=90°，
∴CD⊥AB，sin∠A=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，∠A=30°，
連接OC，如圖所示：
則∠BOC=2∠A=60°，OC=$\frac{CE}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴$\widehat{BD}$的長度=$\widehat{BC}$的長度=$\frac{60π×2}{180}$=$\frac{2}{3}$π．

點評 本題考查的是垂徑定理、勾股定理的逆定理、三角函數、弧長公式等知識；熟練掌握勾股定理的逆定理，由垂徑定理得出$\widehat{BC}=\widehat{BD}$是解決問題的關鍵．