Question

【題目】定義：在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的邊平行于軸．若的三個(gè)頂點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖像上，則稱為該二次函數(shù)圖像的“伴隨三角形”．為拋物的“伴隨三角形”．

（1）若點(diǎn)是拋物線與軸的交點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）若點(diǎn)在該拋物線的對(duì)稱軸上，且到邊的距離為2，求的面積．

（3）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，比較與的大小，并求的取值范圍．

（4）是拋物線的“伴隨三角形”，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍，設(shè)該拋物線在上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍和面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，且時(shí)，；（4），

【解析】

（1）由軸及伴隨三角形的定義，拋物線的對(duì)稱軸可得答案．

（2）由題意得：為拋物線的頂點(diǎn)，求解的坐標(biāo)，結(jié)合已知條件，得到的坐標(biāo)，進(jìn)而求出與上的高可得的面積．

（3）先寫出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由 軸，當(dāng)為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，不存在，當(dāng)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等時(shí)，不存在，求解對(duì)應(yīng)的的值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分段得到答案，

（4）由求解拋物線的對(duì)稱軸，分討論最高點(diǎn)的位置，求解最高點(diǎn)在縱坐標(biāo)，代入，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解的范圍，再求解面積的最大值．

（1）當(dāng)時(shí)，，∴

對(duì)稱軸：，

軸，

∴

（2）在拋物線上，也在對(duì)稱軸上，

為拋物線的頂點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，

∴

到邊的距離為2，

∴

∴當(dāng)時(shí)，

，

∴，

∴

∴

（3），

①當(dāng)時(shí)，為拋物線的頂點(diǎn)，所以不成立，

②當(dāng)

解得：，，

此時(shí)結(jié)合題意：軸，不成立

③當(dāng)時(shí)，如圖

結(jié)合圖像得：，

④當(dāng)且時(shí)，結(jié)合圖像可得：

⑤當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像可得：

綜上：

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)，且時(shí)，．

（4）

頂點(diǎn)

①當(dāng)時(shí)，即

當(dāng)時(shí)

當(dāng)

解得：

由二次函數(shù)的性質(zhì)得：

由，

為任意數(shù)

∴

②當(dāng)時(shí)，

即：，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，

，

∴

綜上

當(dāng)時(shí)，

軸，

此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，時(shí)

∴

此時(shí)面積最大，最大面積是