Question

在平面直角坐標系中，正方形A₁B₁C₁D₁、D₁E₁E₂B₂、A₂B₂C₂D₂、D₂E₃E₄B₃、A₃B₃C₃D₃…按如圖所示的方式放置，其中點B₁在y軸上，點C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃…在x軸上，已知正方形A₁B₁C₁D₁的邊長為1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…則正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅D₂₀₁₅的邊長是（　　）

A．（）²⁰¹⁴ B．（）²⁰¹⁵ C．（）²⁰¹⁵     D．（）²⁰¹⁴

　

Answer 1

D【考點】正方形的性質．

【專題】壓軸題；規律型．

【分析】利用正方形的性質結合銳角三角函數關系得出正方形的邊長，進而得出變化規律即可得出答案．

【解答】方法一：

解：如圖所示：∵正方形A₁B₁C₁D₁的邊長為1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…

∴D₁E₁=B₂E₂，D₂E₃=B₃E₄，∠D₁C₁E₁=∠C₂B₂E₂=∠C₃B₃E₄=30°，

∴D₁E₁=C₁D₁sin30°=，則B₂C₂=（）¹，

同理可得：B₃C₃==（）²，

故正方形A_nB_nC_nD_n的邊長是：（）^n﹣1．

則正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅D₂₀₁₅的邊長是：（）²⁰¹⁴．

故選：D．

 

方法二：

∵正方形A₁B₁C₁D₁的邊長為1，

∠B₁C₁O=60°，

∴D₁E₁=B₂E₂=，

∵B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…

∴∠E₂B₂C₂=60°，

∴B₂C₂=，

同理：

B₃C₃=×=…

∴a₁=1，q=，

∴正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅D₂₀₁₅的邊長=1×．

【點評】此題主要考查了正方形的性質以及銳角三角函數關系，得出正方形的邊長變化規律是解題關鍵．