Question

14、稱具有a²+161b²形式的數(shù)為“好數(shù)”，其中a，b都是整數(shù)．
（1）證明：100，2010都是“好數(shù)”．
（2）證明：存在正整數(shù)x，y，使得x¹⁶¹+y¹⁶¹是“好數(shù)”，而x+y不是“好數(shù)”．

Answer 1

分析：（1）由a²+161b²形式的數(shù)為“好數(shù)”，將100與2010表示成“好數(shù)”的形式即可證明結(jié)論的正確性，注意100=10²+161×0²，2010=43²+161×1²；
（2）由161=7×23a²+161×b²除以7的余數(shù)可以是0，1，2，4，可知構(gòu)造x、y時(shí)，最好讓x+y除以7余3即可，首先證得：x¹⁶¹+y¹⁶¹=（3¹⁶¹+1）¹⁶²=[（3¹⁶¹+1）⁸¹]²+161×0²是好數(shù)，再由x+y=3×（3¹⁶¹+1）+3¹⁶¹+1=3×（5+1）+6除以7余3，證得x+y不是好數(shù)．

解答：解：（1）∵100=10²+161×0²，2010=43²+161×1²，
∴100，2010是好數(shù)；

（2）∵161=7×23a²+161×b²除以7的余數(shù)可以是0，1，2，4，
∴構(gòu)造x、y時(shí)，最好讓x+y除以7余3，
又∵[p（p¹⁶¹+1）]¹⁶¹+（p¹⁶¹+1）¹⁶¹=（p¹⁶¹+1）¹⁶¹（p¹⁶¹+1）=（p¹⁶¹+1）¹⁶²是平方數(shù)，
∴可以令x=3（3¹⁶¹+1），y=3¹⁶¹+1，
∴x¹⁶¹+y¹⁶¹=（3¹⁶¹+1）¹⁶²=[（3¹⁶¹+1）⁸¹]²+161×0²是好數(shù)，
又3¹⁶¹除以7余5，
x+y=3×（3¹⁶¹+1）+3¹⁶¹+1=3×（5+1）+6除以7余3，
∴x+y不是好數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平方數(shù)的知識(shí)與整除問題的應(yīng)用．此題難度較大，注意理解“好數(shù)”的定義是解此題的關(guān)鍵．