Question

如圖，等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，當PA=CQ時，連PQ交AC邊于D，①猜想 DE與AB的關系？并加以證明。②若Ｐ是ＡＢ延長線一點，Q為BC一點，其他條件不變，結論成嗎？畫圖并證明

（友情引導：若不知道，你可以動手去量發現結論。若不會，Ｐ是動點，你可以把Ｐ運動到特殊的地方，發現現在可利用什么性質？接下來證明。發現缺少什么？就補什么。若還不會，你能發現有線段相等嗎？嘗試證明，你會有驚喜。）

 

Answer 1

（1）DE=AB.證明見解析；（2）結論不變，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）過P作PF∥BC交AC于F，推出△APF是等邊三角形，推出AP=PF=CQ，求出∠FPD=∠Q，根據AAS證△FPD≌△CQD，推出FD=DC，根據等腰三角形性質得出AE=EF，求出DE=FE+DF=AC，代入求出即可．

(2) 作QF⊥AC，交直線AC的延長線于點F，易證△APE≌△CQF，可得AE=FC，PE=QF且PE∥QF，所以，四邊形PEQF是平行四邊形，即DE=EF，等量代換得，DE=AC，根據已知，即可得出DE的長為定值．

試題解析：(1) 過P作PF∥BC交AC于F，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=∠B=∠A=60°，

∵PF∥BC，

∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，

∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，

∴△APF是等邊三角形，

∴AP=PF，

∵AP=CQ，

∴PF=CQ，

∵PF∥BC，

∴∠FPD=∠Q，

在△FPD和△CQD中

∴△FPD≌△CQD（AAS），

∴FD=DC，

∵AP=PF，PE⊥AF，

∴AE=EF，

∴DE=FE+DF=CD+AE=AC=AB.

(2) （1）中的結論還成立．理由如下：

如圖，作QF⊥AC，交直線AC的延長線于點F，連接EQ，PF．

同（1），推知△APE≌△CQF（AAS），

∴AE=FC，PE=QF且PE∥QF，

∴四邊形PEQF是平行四邊形，

∴DE=EF，

∵EC+CF=EC+AE=AC，

∴DE=AC=AB．

考點：1.全等三角形的判定與性質；2.等邊三角形的性質．