Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）的對稱軸與x軸交于點A，將點A向右平移3個單位長度，向上平移2個單位長度，得到點B．

⑴點A的坐標為　 　，點B的坐標為　 　；

⑵若a＝﹣1，當m﹣1≤x≤m+1時，函數y＝ax2﹣4ax+3a﹣2的最大值為﹣10，求m的值；

⑶若拋物線與線段AB有公共點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2，0），（5，2）；（2）m的值為6或﹣2．（3）a或a≤﹣2．

【解析】

（1）利用對稱軸公式可求出對稱軸，即可得到A點坐標，然后利用點的平移得到B點坐標；

（2）將a＝﹣1代入拋物線解析式，將解析式整理成為頂點式，找到對稱軸，然后利用函數圖象的增減性進行討論即可得出答案；

（3）分a＞0和a＜0兩種情況考慮，畫出拋物線與AB相交的圖像，數形結合可得a的取值范圍.

解：（1）拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝2，

∴點A的坐標為（2，0）．

∵將點A向右平移3個單位長度，向上平移2個單位長度，得到點B，

∴點B的坐標為（2+3，0+2），即（5，2）．

故答案為：（2，0），（5，2）；

（2）∵a＝﹣1

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+4x﹣5

∴，

確定出其對稱軸為x＝2，由題意知最大值為﹣10，

當m﹣1＞2時，即m＞3時，

﹣（m﹣1﹣2）2﹣1＝﹣10，

解得m1＝6，m2＝0（舍去），

當m+1＜2時，即m＜1，

﹣（m+1﹣2）2﹣1＝﹣10，

解得m1＝4（舍去），m2＝﹣2．

綜合以上可得m的值為6或﹣2．

（3）分a＞0和a＜0兩種情況考慮：

①當a＞0時，如圖1所示．

∴，

∴a；

②當a＜0時，如圖2所示．

∵，

∴

∴．

綜上所述：a的取值范圍為或.