Question

【題目】對于二次函數y＝x2﹣4x+3和一次函數y＝﹣x+1，我們把y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）稱為這兩個函數的“再生二次函數”，其中t是不為零的實數，其圖象記作拋物線E．現有點A（1，0）和拋物線E上的點B（2，n），請完成下列任務：

（嘗試）

⑴判斷點A是否在拋物線E上；

⑵求n的值．

（發現）通過（1）和（2）的演算可知，對于t取任何不為零的實數，拋物線E總過定點，請你求出定點的坐標．

（應用）二次函數y＝﹣3x2+8x﹣5是二次函數y＝x2﹣4x+3和一次函數y＝﹣x+1的一個“再生二次函數”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．

Answer 1

【答案】[嘗試]（1）點A在拋物線E上；（2）n=-1；[發現]：（1，0）和（2，﹣1），[應用]：是，t=-3.

【解析】

[嘗試]（1）將x=1代入y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）計算后進行判斷；
（2）將x=2代入 y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）即可求解；

[發現]將拋物線E的表達式進行因式分解后，通過觀察式子特點，即可得出經過的定點；
[應用] 根據“再生二次函數”的定義列出等式即可求解．

解：[嘗試]（1）當x＝1時，y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）＝0，

故點A在拋物線E上；

（2）x＝2時，n＝y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）＝﹣1；

[發現]

易得當x=1時，y=0，即拋物線經過點（1,0），

當x=2時，y=-1，即拋物線經過點（2，-1），

∴拋物線E總過定點（1，0）和（2，﹣1），

[應用]是，理由：

由題意得：，

化簡并整理得：t＝﹣3．