Question

8．已知二次函數y=x²+（2m+2）x+m²+m-1（m是常數）．
（1）用含m的代數式表示該二次函數圖象的頂點坐標；
（2）當二次函數圖象頂點在x軸上時，求出m的值及此時頂點的坐標；
（3）小明研究發現：m取不同的值時，表示不同的二次函數，求出這些二次函數圖象的頂點坐標，并將它們在同一直角坐標系中畫出，可知這些頂點都在同一條直線上．請寫出這條直線的函數表達式，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數y=ax²+bx+c圖象的頂點坐標（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$）即可得出答案；
（2）由二次函數圖象頂點在x軸上，則$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=0，求得m的值及頂點的坐標；
（3）設直線的函數表達式為y=kx+b，取兩個不同的m值代入，得出頂點坐標代入y=kx+b，可求得k，b的值，再將x=-m-1，y=-m-2代入判斷是否滿足解析式即可．

解答 解：（1）y=x²+（2m+2）x+m²+m-1=（x+m+1）²-m-2，
∴該二次函數圖象的頂點坐標為（-m-1，-m-2）；       
（2）當二次函數圖象頂點在x軸上時，-m-2=0，
解得：m=-2，
∴此時頂點的坐標為（1，0）； 
（3）直線的函數表達式為y=x-1，證明如下：
法1：設直線的函數表達式為y=kx+b，取兩個頂點坐標代入，可求得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-1\end{array}$
∴y=x-1．
∵將x=-m-1，y=-m-2代入滿足y=x-1，
∴m取不同值時，點（-m-1，-m-2）都在一次函數y=x-1的圖象上
即頂點所在的直線的函數表達式為y=x-1．

點評 本題考查了二次函數的性質，主要利用了頂點坐標的公式，是基礎題，二次函數圖象頂點在x軸上是二次函數的頂點坐標縱坐標=0是解題的關鍵．