Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，O為AC中點，EF過O點且EF⊥AC分別交DC于F，交AB于E，若點G是AE中點且∠AOG＝30°，則下列結論正確的個數為（　　）

（1）△OGE是等邊三角形；（2）DC＝3OG；（3）OG＝BC；（4）S△AOE＝S矩形ABCD

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OG=AG=GE=AE，再根據等邊對等角可得∠OAG=30°，根據直角三角形兩銳角互余求出∠GOE=60°，從而判斷出△OGE是等邊三角形，判斷出（1）正確；設AE=2a，根據等邊三角形的性質表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，從而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB=3a，從而判斷出（2）正確，（3）錯誤；再根據三角形的面積和矩形的面積列式求出判斷出（4）正確．

解：∵EF⊥AC，點G是AE中點，

∴OG＝AG＝GE＝AE，

∵∠AOG＝30°，

∴∠OAG＝∠AOG＝30°，

∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，

∴△OGE是等邊三角形，故（1）正確；

設AE＝2a，則OE＝OG＝a，

由勾股定理得，AO＝＝＝a，

∵O為AC中點，

∴AC＝2AO＝2a，

∴BC＝AC＝×2a＝a，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝3a，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝3a，

∴DC＝3OG，故（2）正確；

∵OG＝a，BC＝a，

∴OG≠BC，故（3）錯誤；

∵S△AOE＝aa＝a2，

SABCD＝3aa＝3a2，

∴S△AOE＝SABCD，故（4）正確；

綜上所述，結論正確是（1）（2）（4），共3個．

故選：C．