Question

【題目】如圖，在中，于點. 點從點出發，沿線段向點運動，點從點出發，沿線段向點運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度，當點運動到時，兩點都停止. 設運動時間為秒.

（1）求線段的長；

（2）當為何值時，是直角三角形？

（3）是否存在某一時刻，使得分的面積為1：11？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）為3秒或秒時，是直角三角形；

（3）當時使得分的面積為1：11.

【解析】

（1）利用勾股定理可求出AB長，再用等積法就可求出線段CD的長，

（2）先用t表示出DP，CQ，CP的長，再分PQ⊥CD與PQ⊥AC兩種情況進行討論；

（3）過點作于，通過三角形相似即可用t的代數式表示QE，從而可以求出和；利用分的面積為1：11，分兩種情況討論，① ，②，建立t的方程，解方程即可解決問題．

解：（1）在中，根據勾股定理得，，

∵，

∴，

（2）由（1）知，，由運動知，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵是直角三角形，

∴①

當PQ⊥CD時，如圖a

∴，

∴，

∴，

∴

②當PQ⊥AC，如圖b．

∴，

∴，

∴

∴，

即：為3秒或秒時，是直角三角形

（3）假設存在，如圖，

在中，根據勾股定理得，，

過點作于，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∵分的面積為1：11，

∴①當時，

∴，

∴，

解得，

②當時，

，

∴，

而，

此方程無解，即：此種情況不存在，

綜上所述，當時使得分的面積為1：11.