Question

6．如圖，已知△ABC沿角平分線BE所在的直線翻折，點A恰好落在邊BC的中點M處，且AM=BE，那么∠EBC的正切值是$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 設AM與BE交點為D，過M作MF∥BE交AC于F，證出MF為△BCE的中位線，由三角形中位線定理得出MF=$\frac{1}{2}$BE，由翻折變換的性質得出：AM⊥BE，AD=MD，同理由三角形中位線定理得出DE=$\frac{1}{2}$MF，設DE=a，則MF=2a，AM=BE=4a，得出BD=3a，MD=$\frac{1}{2}$AM=2a，即可得出結果．

解答 解：設AM與BE交點為D，過M作MF∥BE交AC于F，如圖所示：
∵M為BC的中點，
∴F為CE的中點，
∴MF為△BCE的中位線，
∴MF=$\frac{1}{2}$BE，
由翻折變換的性質得：AM⊥BE，AD=MD，
同理：DE是△AMF的中位線，
∴DE=$\frac{1}{2}$MF，
設DE=a，則MF=2a，AM=BE=4a，
∴BD=3a，MD=$\frac{1}{2}$AM=2a，
∵∠BDM=90°，
∴tan∠EBC=$\frac{DM}{BD}$=$\frac{2a}{3a}$=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了翻折變換的性質、三角形中位線定理、平行線的性質、三角函數；熟練掌握翻折變換的性質，通過作輔助線由三角形中位線定理得出MF=$\frac{1}{2}$BE，DE=$\frac{1}{2}$MF是解決問題的關鍵．