Question

【題目】已知：△ABC為等邊三角形．

（1）求作：△ABC的外接圓⊙O．（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）射線AO交BC于點D，交⊙O于點E，過E作⊙O的切線EF，與AB的延長線交于點F．

①根據題意，將（1）中圖形補全；

②求證：EF∥BC；

③若DE＝2，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）如圖所示：⊙O即為所求．見解析；（2）①如圖2，補全圖形，見解析；②證明見解析；③EF＝．

【解析】

（1）直接利用外接圓的作法作出三角形任意兩邊的垂直平分線，進而得出外接圓圓心，進而得出答案；
（2）①按題意畫出圖形即可；
②連接OB，OC，證明AE⊥BC．可得出AE⊥EF，則結論得證；

③得出∠BOD=60°，設OD=x，則OB=OE=2+x，得出cos∠BOD，

求出x=2，得出tan∠BAD，則可求出EF的值．

（1）如圖所示：⊙O即為所求．

（2）①如圖2，補全圖形：

②證明：連接OB，OC，

∵OB＝OC，

∴點O在線段BC的垂直平分線上，

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB＝AC，

∴點A在線段BC的垂直平分線上，

∴AO垂直平分BC，

∴AE⊥BC．

∵直線EF為⊙O的切線，

∴AE⊥EF，

∴EF∥BC；

③解：∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC＝60°，

∵AB＝AC，AE⊥BC，

∴∠BAD＝∠BAC，

∴∠BAD＝30°，

∴∠BOD＝60°，

∵DE＝2，

設OD＝x，

∴OB＝OE＝2+x，

在Rt△OBD中，∵OD⊥BC，∠BOD＝60°，

∴cos∠BOD＝，

∴x＝2，

∴OD＝2，OB＝4，

∴AE＝8，

在△AEF中，∵AE⊥EF，∠BAD＝30°，

∴tan∠BAD＝，

∴EF＝．