Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)G在弧BD上，連接AG，交CD于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)G的直線(xiàn)交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，且EG=EK．

（1）求證：EF是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若⊙O的半徑為13，CH=12，AC∥EF，求OH和FG的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

試題分析：（1）連接OG，首先證明∠EGK=∠EKG，再證明∠HAK+∠KGE=90°，進(jìn)而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF，進(jìn)而證明EF是⊙O的切線(xiàn)；
（2）連接CO，利用勾股定理計(jì)算出HO的長(zhǎng)，然后可得tan∠CAH=tan∠F=，再利用三角函數(shù)在Rt△OGF中計(jì)算出FG的長(zhǎng)．
試題解析:（1）證明：連接OG，
∵弦CD⊥AB于點(diǎn)H，
∴∠AHK=90°，
∴∠HKA+∠KAH=90°，
∵EG=EK，
∴∠EGK=∠EKG，
∵∠HKA=∠GKE，
∴∠HAK+∠KGE=90°，
∵AO=GO，
∴∠OAG=∠OGA，
∴∠OGA+∠KGE=90°，
∴GO⊥EF，
∴EF是⊙O的切線(xiàn)；
（2）解：連接CO，在Rt△OHC中，
∵CO=13，CH=12，
∴HO=5，
∴AH=8，
∵AC∥EF，
∴∠CAH=∠F，
∴tan∠CAH=tan∠F= ，
在Rt△OGF中，∵GO=13，
∴FG=．
考點(diǎn): 1.切線(xiàn)的判定,2.解直角三角形.