Question

2．如圖，已知點P為∠AOB的角平分線上的一點，點D在邊OA上．愛動腦筋的小剛經過仔細觀察后，進行如下操作：在邊OB上取一點E，使得PE=PD，這時他發現∠OEP與∠ODP之間有一定的相等關系，請你寫出∠OEP與∠ODP所有可能的數量關系．

Answer 1

分析 結論：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180?以O為圓心，以OD為半徑作弧，交OB于E₂，連接PE₂，由△E₂OP≌△DOP（SAS），推出E₂P=PD，即此時點E₂符合條件，此時∠OE₂P=∠ODP；以P為圓心，以PD為半徑作弧，交OB于另一點E₁，連接PE₁，則此點E₁也符合條件PD=PE₁，由PE₂=PE₁=PD，
推出∠PE₂E₁=∠PE₁E₂，由∠OE₁P+∠E₂E₁P=180°，∠OE₂P=∠ODP，推出∠OE₁P+∠ODP=180°，

解答 解：結論：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．
理由是：以O為圓心，以OD為半徑作弧，交OB于E₂，連接PE₂，

∵在△E₂OP和△DOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{O{E}_{2}=OD}\\{∠{E}_{2}OP=∠DOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△E₂OP≌△DOP（SAS），
∴E₂P=PD，
即此時點E₂符合條件，此時∠OE₂P=∠ODP；
以P為圓心，以PD為半徑作弧，交OB于另一點E₁，連接PE₁，
則此點E₁也符合條件PD=PE₁，
∵PE₂=PE₁=PD，
∴∠PE₂E₁=∠PE₁E₂，
∵∠OE₁P+∠E₂E₁P=180°，
∵∠OE₂P=∠ODP，
∴∠OE₁P+∠ODP=180°，
∴∠OEP與∠ODP所有可能的數量關系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，

點評 本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．