Question

【題目】將兩塊全等的含30°角的直角三角扳按圖1的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C＝30°，AB＝2BC．固定三角板A1B1C，然后將三角板ABC繞點C順時針方向旋轉（如圖2所示），AB與A1C、A1B1分別交于點D、E，AC與A1B1交于點F．給出下列結論：

①當旋轉角等于20°時，∠BCB1＝l60°；

②當旋轉角等于30°時，AB與A1B1垂直；

③當旋轉角等于45°時，AB∥CB1；

④當AB∥CB1時，點D為A1C的中點．

其中正確的是_____（寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

求出∠BCB1+A1CA＝180°，求出∠A1CA和∠BCB1，再判斷①②③即可；根據兩直線平行，同旁內角互補求出∠ADC＝90°，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得CD＝AC，根據旋轉的性質可得A1C＝AC，然后求出解，即可判斷④．

①∵∠ACB＝∠A1CB1＝90°，

∴∠BCB1+A1CA＝∠ACB+∠ACB1+∠A1CA＝∠ACB+∠A1CB1＝90°+90°＝180°，

∵旋轉角等于20°，

∴∠A1CB＝90°﹣20°＝70°，

∴∠A1CA＝90°﹣70°＝20°，

∴∠BCB1＝180°﹣∠A1CA＝160°，

∴①正確；

②∵兩塊全等的含30°角的直角三角扳按圖I的方式放置，

∴∠B＝∠B1＝60°，

∵旋轉角等于30°，

∴∠A1CB＝90°﹣30°＝60°，

∴∠A1CA＝90°﹣60°＝30°，

∴∠BCB1＝180°﹣∠A1CA＝150°，

∴∠BEB1＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，

∴AB與A1B1垂直，

∴②正確；

③∵旋轉角等于45°，

∴∠A1CB＝90°﹣45°＝45°，

∴∠A1CA＝90°﹣45°＝45°，

∴∠BCB1＝180°﹣∠A1CA＝145°，

∴∠BEB1+∠B＝135°+60°＝195°≠180°，

∴AB和CB1不平行，

∴③錯誤；

④∵AB∥CB1，

∴∠ADC＝180°﹣∠A1CB1＝180°﹣90°＝90°，

∵∠BAC＝30°，

∴CD＝AC，

又∵由旋轉的性質得，A1C＝AC，

∴A1D＝CD，

∴④正確；

故答案為：①②④．