Question

（本題滿分12分）AB是⊙O的直徑，AD與⊙O相交，點C是⊙O上一點，經過點C的直線交AD于點E．

（1）如圖1 ，若AC平分∠BAD，CE⊥AD于點E，求證：CE是⊙O的切線；

（2）如圖2，若CE是⊙O的切線，CE⊥AD于點E，AC是∠BAD的平分線嗎？說明理由；

（3）如圖3，若CE是⊙O的切線，AC平分∠BAD，AB=8，AC=6，求AE的長度．

Answer 1

（1）（2)見解析 （3）AE

【解析】

試題分析：（1）首先連接OC，根據OA=OC得出∠OAC=∠OCA，根據角平分線的性質得出∠OCA=∠CAD，得到OC∥AE，從而說明CE為切線；（2）方法同（1)；（3）根據切線的性質來證明△ABC和△ACE相似，從而求出AE的長度．

試題解析：（1）證明：連接OC ∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA ∵AC平分∠BAD ∴∠OCA=∠CAD

∴OC∥AD ∵CE⊥AD ∴CE⊥OC 又∵OC是半徑 ∴CE是⊙O的切線。

（2）【解析】
AC是∠BAD的平分線

理由：連接OC ∵CE是⊙O的切線 ∴CE⊥OC ∵CE⊥AD ∴OC∥AD

∴∠OCA=∠CAD ∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA ∴∠OCA=∠CAD 即：AC是∠BAD的平分線

（3）【解析】
連接OC、BC ∵CE是⊙0的切線 ∴CE⊥OC ∵AB是⊙O的直徑 ∴∠ACB=900

∴∠ACE=∠OCB ∵OB=OC ∴∠B=∠OCB ∴∠B=∠ACE

∵AC平分∠BAD ∴△ABC∽△ACE

∴ 即： 解得：AE=

考點：切線的判定與性質、三角形相似的判定與性質．