Question

（本題9分）如圖，對稱軸為x=的拋物線經過點A（6，0）和B（0，4）．

（1）求拋物線解析式；

（2）設點E（，）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形．求平行四邊形OEAF的面積S與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

①當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？

②是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1） （2）見解析

【解析】

試題分析：（1）理由待定系數法進行求解，將解析式設為頂點式，然后計算；（2）根據四邊形的面積求出點E的坐標，然后分別進行判斷；（3）根據正方形的性質求出點E的坐標，然后進行說明.

試題解析：（1）設拋物線的解析式為y=．

把A、B兩點坐標代入上式，得 解得．

所以拋物線的解析式為.

（2）因為點E（x，y）在拋物線上，位于第四象限，且坐標適合拋物線的解析式，

所以y<0，即-y>0，-y表示點E到OA的距離．

因為OA是平行四邊形OEAF的對角線，所以S=2=－6y=－4

因為拋物線與x軸的兩個交點是（1，0）和（6，0），所以，自變量x的取值范圍是1＜x＜6．

①依題意，當S=24時，即－4=24，解得=3，=4.

所以點E的坐標為（3，-4）或（4，-4）．

E（3，-4）滿足OE=AE，所以四邊形OEAF是菱形；

E（4，-4）不滿足OE=AE，所以四邊形OEAF不是菱形．

②當OA⊥EF，且OA=EF時，四邊形OEAF是正方形，此時點E的坐標只能是（3，-3），而點（3，-3）不在拋物線上，故不存在這樣的點E，使四邊形OEAF是正方形．

考點：待定系數法求二次函數的解析式、菱形與正方形的性質.