Question

使得函數值為零的自變量的值稱為函數的零點．例如，對于函數，令，可得，我們就說是函數的零點．請根據零點的定義解決下列問題：已知函數（m為常數）．

1.當m=0時，求該函數的零點

2.證明：無論m取何值，該函數總有兩個零點；

3.設函數的兩個零點分別為和，且，此時函數圖象與軸的交點分別為A、B（點A在點B左側），點M在直線上，當MA+MB最小時，求直線AM的函數解析式．

 

Answer 1

【答案】

 

1.函數的零點為和－.。

2.見解析。

3.

【解析】解：(1)當時，，    -------1分 

令，即，解得， 

∴當時，該函數的零點為和－. ………………………2分

（2）令，即，     

△=(－2m)²－4[－2(m+3)] =4m²+8m+24………………………1分

△=4(m+1)²+20                               

∵無論m為何值，4(m+1)²≥0，4(m+1)²+20＞0， 即△＞0，………………2分                                    

∴無論m為何值，方程總有兩個不相等的實數根，

即該函數總有兩個零點.   ………………………3分

（3）依題意有，，，    …………………1分

由得=－，即=－，……………2分

解得m＝1.                                          …………………3分

因此函數解析式為y=x²－2x－8，

令y=0，解得x₁=－2，x₂=4，                      

∴A（－2，0），B（4，0），                          …………………4分

作點B關于直線的對稱點B´，連結AB´，  

則AB´與直線的交點就是滿足條件的M點.                …………………5分

易求得直線與x軸、y軸的交點分別為C(10，0)，D(0，－10)，………6分

連結CB´，則∠BCD=45°，∴BC=CB´=6，∠B´CD=∠BCD=45°，

∴∠BCB´=90°.        即B´（10，-6）.                  ………7分

設直線AB´的解析式為，則

，解得，.

∴直線AB´的解析式為，

即AM的解析式為.