Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點D，過點D作⊙O的切線與AC交于點F．

（1）求證：EF=CF；

（2）若AE=8，cosA=，求DF的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)2.

【解析】分析：（1）連接OD，DE，先說明OD∥AC，由切線的性質得∠ODF=90°，從而∠DFC=90°，再證明DE=DC，根據三線合一結論可證；

（2）連接AD，BE，先說明DF是△BCE的中位線，從而DF=BE，在Rt△ABE中，求出AB和BE的長，進而可求出DF的長.

詳解：（1）證明：連接OD，DE，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF與⊙O相切，

∴OD⊥DF，即∠ODF=90°，

∴∠DFC=90°，即DF⊥AC，

∵∠ABC+∠AED=180°，∠AED+∠DEC=180°，

∴∠DEC=∠ABD=∠C，

∴DE=DC，

∴EF=FC；

（2）連接AD，BE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=∠AEB=90°，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∴DF是△BCE的中位線，

∴DF=BE，

在Rt△ABE中，

∵cos∠BAE=，

∴AB=，

根據勾股定理可得：BE=，

∴DF=．