Question

7．綜合與探究
如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線W的函數表達式為y=-x²+2x+3，拋物線W與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸交于點C，它的頂點為D，直線l經過A、C兩點．
（1）求點A、B、C、D的坐標．
（2）將直線l向下平移m個單位，對應的直線為l′．
       ①若直線l′與x軸的正半軸交于點E，與y軸的正半軸交于點F，△AEF的面積為S，求S關于m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
      ②求m的值為多少時，S的值最大？最大值為多少？
（3）若將拋物線W也向下平移m單位，再向右平移1個單位，使平移后得到的二次函數圖象的頂點P落在△AOC的內部（不包括△AOC的邊界），請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據坐標軸的特點確定出點A，B，C的坐標，再配成頂點式得出點D坐標；
（2）①利用待定系數法確定出直線l的解析式，最后用面積公式即可得出結論；
②借助①的結論確定出最大值；
（3）利用平移后的拋物線的頂點坐標，即可得出結論．

解答 解：（1）當y=0時，得-x²+2x+3，解得x=3或x=-1，
∴A，B兩點坐標分別為（3，0），（-1，0），
當x=0時，得y=3，
∴點C坐標為（0，3），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴點D坐標為（1，4），
（2）①設直線l的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線l的解析式為y=-x+3．
∴直線l′的解析式為y=-x+3-m．
當y=0時，解得x=3-m，
∴E點坐標為（3-m，0）
當x=0時，解得y=3-m，
∴F點坐標為（0，3-m）
∴AE=3-（3-m）=m，OF=3-m．
∴S=$\frac{1}{2}$×AE×OF=$\frac{1}{2}$m（3-m）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m（0＜m＜3），
②∵S=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{8}$
∴當m=$\frac{3}{2}$時，S的值最大，最大值為$\frac{9}{8}$．
（3）∵拋物線W的函數表達式為y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴設平移后的拋物線解析式為y=-（x-1-1）²+4-m=-（x-2）²+4-m，
∴P（2，4-m）
∵A（3，0），C（0，3），
∴直線AC的解析式為y=-x+3，當x=2時，y=1，
∵平移后得到的二次函數圖象的頂點P落在△AOC的內部，
∴0＜4-m＜1
∴3＜m＜4．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了坐標軸上點的特點，待定系數法，三角形的面積公式，極值，拋物線的性質，平移的性質，解本題的關鍵是確定出點D的坐標和平移的性質，是一道中等難度的中考�？碱}．