Question

觀察下面的變形規律：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；…
解答下面的問題：
（1）若n為正整數，請你猜想

1

n(n+1)

=

 

；
（2）證明你猜想的結論；
（3）求和：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2009×2010

．

Answer 1

分析：（1）根據所給的等式，進行推而廣之即可；
（2）根據分式的加減運算法則進行證明；
（3）根據（2）中證明的結論，進行計算．

解答：（1）解：

1

n

-

1

n+1

；

（2）證明：右邊=

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

n+1-n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

=左邊，
所以猜想成立．

（3）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

=1-

1

2010

=

2009

2010

．

點評：此題考查了異分母的分式相減的運算法則．