Question

觀察下面的變形規律：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；…

1

2013×2014

=

1

2013

-

1

2014

…
解答下面的問題：
（1）試求

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2013×2014

；
（2）若n為正整數，請你猜想

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（3）請你根據變形規律進行適當變形，求

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2013×2015

．

Answer 1

分析：（1）根據上述等式得出拆項規律，將原式變形計算即可得到結果；
（2）歸納總結得到一般性規律，寫出即可；
（3）利用得出的規律將原式變形，計算即可得到結果．

解答：解：（1）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2013

-

1

2014

=1-

1

2014

=

2013

2014

；
（2）歸納總結得：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（3）根據題意得：原式=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2013

-

1

2015

）=

1

2

（1-

1

2015

）=

1007

2015

．
故答案為：（2）

1

n

-

1

n+1

；

點評：此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．