Question

觀察下面的變形規律：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；…
解答下面的問題：
（1）若n為正整數，請你猜想

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）證明你猜想的結論；
（3）求和：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2009×2010

．

Answer 1

分析：（1）觀察規律可得：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）根據分式加減法的運算法則求解即可證得結論的正確性；
（3）利用上面的結論，首先原式可化為：1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

繼而可求得答案．

解答：解：（1）由

1

1×2

=

1

1

-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…則：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

n+1-n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

；

（3）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2009×2010

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

=1-

1

2010

=

2009

2010

．

點評：此題考查了分式的加減運算法則，解題的關鍵是仔細觀察，得到規律：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，然后利用規律求解．