Question

當x依次取1，2，3，…，2009，

1

2

，

1

3

，

1

4

，…，

1

2009

時，代數式

x2

1+x2

的值的和等于

 

．

Answer 1

分析：因為當x=

1

k

時和當x=k時，分別代入代數式

x2

1+x2

，再把它們所得的和相加的1.2，3，…，2009，

1

2

，

1

3

，

1

4

，…，

1

2009

恰好分別對應互為相反數，從而問題的得解．

解答：解：∵當x=

1

k

時，

x2

1+x2

=

1

1+k2

，
當x=k時，

x2

1+x2

=

k 2

1+k2

，
故這兩值相加得：

1

1+k 2

+

k 2

1+k2

=1，
∴當x依次取1，2，3，…2009，

1

2

，

1

3

，

1

4

，…，

1

2009

時，
原式=

1

2

+

4

5

+

9

10

+…+

2009 2

1+2009 2

+

1

5

+

1

10

+…+

1 2009 2

1+ 1 2009 2

，
=

1

2

+（

4

5

+

1

5

）+（

9

10

+

1

10

）+…+（

2009 2

1+2009 2

+

1 2009 2

1+ 1 2009 2

），
=

1

2

+1+1+…1，
=2008

1

2

．

點評：本題考查因式分解在分式化簡中的運用，在化簡中注意不同的分式相加是一個常數．