Question

自然數n≥1，滿足：2002×n是完全立方數，n÷2002是完全平方數．這樣的n中的最小者是

2002⁵

Answer 1

分析：由2002=2×7×11×13，而2002×n是完全立方數，n÷2002是完全平方數，因此得到當n最小時，n除了2，7，11，13外，沒有別的質因數，設n=2^a×7^b×11^c×13^d，（a，b，c，d都是正整數），再根據題意得到a+1，b+1，c+1，d+1都是3的倍數；a-1，b-1，c-1，d-1都是2的倍數，所以即可得到n最小時a，b，c，d的值，從而得到n中的最小者．

解答：解：∵2002=2×7×11×13，
而2002×n是完全立方數，n÷2002是完全平方數，
∴n最小時，n除了2，7，11，13外，沒有別的質因數，設n=2^a×7^b×11^c×13^d，（a，b，c，d都是正整數），
∴a+1，b+1，c+1，d+1都是3的倍數；a-1，b-1，c-1，d-1都是2的倍數，
∴當a=b=c=d=5，n最小，
∴n中的最小者是2⁵×7⁵×11⁵×13⁵=2002⁵．
故答案為：2002⁵．

點評：本題考查了完全平方數和完全立方數的概念．也考查了對正整數進行因數分解的能力．