Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP＝，∠A＝30º．

(1)求劣弧的長；
(2)若∠ABD＝120º，BD＝1，求證：CD是⊙O的切線．

Answer 1

（1） （2）要證明切線，即證明其與圓的直徑成直角，利用全等三角形，可以求出對應角相等，進而證明出直角.

試題分析：（1）延長OP交AC于E，
∵P是△OAC的重心，，
∴，                   
且 E是AC的中點.，∵，∴OE⊥AC.
在Rt△OAE中，∵，，∴∴         
∴. ∴
（2）證明：連結BC.
∵E、O分別是線段AC、AB的中點，
∴BC∥OE，且BC＝2OE＝2＝OB＝OC. 
∴△OBC是等邊三角形. ∴∠OBC＝60°.
∵∠OBD＝120°，∴∠CBD＝60°＝∠AOE.
∵ BD＝1＝OE，BC＝OA，∴△OAE ≌△BCD. 
∴∠BCD＝30°. ∵∠OCB＝60°， ∴∠OCD＝90°.
∴CD是⊙O的切線.
點評：題目難度一般，利用重心，可以知道線段為分段，學生可以嘗試多做此類題目，一般來講證明切線的題萬變不離其宗