Question

【題目】定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點，線段PQ的長度的最小值叫做線段a與線段b的距離．
已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐標系中四點．

（1）根據上述定義，當m=2，n=2時，如圖1，線段BC與線段OA的距離是；當m=5，n=2時，如圖2，線段BC與線段OA的距離為；

（2）如圖3，若點B落在圓心為A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關于m的函數解析式．

（3）當m的值變化時，動線段BC與線段OA的距離始終為2，線段BC的中點為M，
①求出點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形的周長；
②點D的坐標為（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x軸，垂足為H，是否存在m的值使以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）2,
（2）解：如圖，

當點B落在⊙A上時，m的取值范圍為2≤m≤6：

①當2≤m＜4時，d=|n|（-2≤n≤2），

或：過點B作BE⊥x軸于點E，線段BC與線段OA的距離等于BE長，

OE=m，AE=OA-OE=4-m，

在Rt△ABE中，根據勾股定理得，d= = ；

②當4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2

（3）解：根據題意畫出圖形，點M形成的圖形為圖中紅線表示的封閉圖形，

由圖可見，封閉圖形由上下兩段長度為8的線段，以及左右兩側半徑為2的半圓所組成，

其周長為：2×8+2×π×2=16+4π，

∴點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形的周長為：16+4π
①先根據題意畫出圖形，易求出點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形的周長；②

【解析】解：（1）當m=2，n=2時，線段BC與線段OA的距離等于平行線間的距離，即為2；當m=5，n=2時，B點坐標為（5，2），線段BC與線段OA的距離，即為線段AB的長，

如圖，

過點B作BD⊥x軸于點D，則AD=5-4=1，BD=2，

在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB= ；

（1）按照新定義的要求可知當m=2，n=2時，線段BC與線段OA的距離等于平行線間的距離(為2)，當m=5，n=2時，可求出點B的坐標，線段BC與線段OA的距離，即為線段AB的長，根據勾股定理就可求出結果。
（2）根據題意可知，當點B落在⊙A上時，m的取值范圍為2≤m≤6：當①當2≤m＜4時，過點B作BE⊥x軸于點E，線段BC與線段OA的距離等于BE長；②當4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2。
（3）先畫出圖形，符合題意的相似三角形有三個，再分類討論，分別利用點的坐標關系及相似三角形的性質列出方程，即可求出m的值。