Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx過A（4，0），B（1，3）兩點，點C，B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．

（1）求拋物線的表達式；

（2）直接寫出點C的坐標，并求出△ABC的面積；

（3）點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，當△ABP的面積為6時，求出點P的坐標；

（4）若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，當CM=MN，且∠CMN=90°時，求此時△CMN的面積．

Answer 1

【答案】（１）y=﹣x2+4x；（２）３；（３）（5，﹣5）　（４）或

【解析】試題（1）把A（4，0），B（1，3）兩點的坐標代入拋物線y=ax2+bx中，用待定系數法求a、b的值，即可得拋物線的表達式；（2）點C和點B關于對稱軸對稱，直接寫出即可，利用 ×OA×HB即可求出△ABC的面積；（3）過P點作PD⊥BH交BH于點D，設點P（m，﹣m2+4m），可得BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，根據S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD，列出以m為未知數的方程，解得m的值，即可求得點P的坐標；（4）當CM=MN，且∠CMN=90°時，分當點M在x軸上方時和當點M在x軸下方時兩種情況求解即可.

試題解析：

（1）把點A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax2+bx中，

得 解得： ，

∴拋物線表達式為：y=﹣x2+4x；

（2）點C的坐標為（3，3），

又∵點B的坐標為（1，3），

∴BC=2，

∴S△ABC= ×2×3=3；

（3）過P點作PD⊥BH交BH于點D，

設點P（m，﹣m2+4m），

根據題意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，

∴S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD，

6=×3×3+（3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣（m﹣1）（3+m2﹣4m），

∴3m2﹣15m=0，

m1=0（舍去），m2=5，

∴點P坐標為（5，﹣5）．

（4）當CM=MN，且∠CMN=90°時，分情況討論：

①當點M在x軸上方時，如圖2，CM=MN，∠CMN=90°，

則△CBM≌△MHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴M（1，2），N（2，0），

由勾股定理得：MC==，

∴S△CMN=××=．

②當點M在x軸下方時，如圖3，作輔助線，構建如圖所示的兩直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，

得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴EM=CD=5，MD=ME=2，

由勾股定理得：CM==，

∴S△CMN=××=；

綜上所述：△CMN的面積為： 或．