Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，以直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點D，連接BD．

（1）若AD=3，BD=4，求邊BC的長；

（2）取BC的中點E，連接ED，試證明：ED與⊙O相切．

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析．

【解析】

試題（1）根據勾股定理易求AC的長，根據△ABD∽△ACB得比例線段可求BD的長．

（2）連接OD，證明DE⊥OD．

試題解析：（1）∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，即BD⊥AC.

在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，

∴由勾股定理得AC=5.

∵∠ABC=90°，BD⊥AC，

∴△ABD∽△ACB，

∴，

即，

∴BD=；

（2）連接OD．

∵OD=OB（⊙O的半徑），

∴∠OBD=∠BDO

∵AB是直徑（已知），

∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角），

∴∠ADB=∠BDC=90°；

在Rt△BDC中，E是BC的中點，

∴BE=CE=DE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

∴∠DBE=∠BDE

又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°，

∴∠ODE=∠BDO+∠BDE=90°（等量代換）；

∵點D在⊙O上，

∴ED與⊙O相切.