Question

14．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長及斜邊上的高分別為a，b及h，求證：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=\frac{1}{{h}^{2}}$．

Answer 1

分析 設(shè)斜邊為c，根據(jù)勾股定理即可得出c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 證明：設(shè)斜邊為c，根據(jù)勾股定理即可得出c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∵$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ch，
∴ab=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$h，即a²b²=a²h²+b²h²，
∴$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}{h}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{h}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}{h}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}{h}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}{h}^{2}}$，
即$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=\frac{1}{{h}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．