Question

（2013•珠海）如圖，⊙O經過菱形ABCD的三個頂點A、C、D，且與AB相切于點A
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）求∠B的度數．

Answer 1

分析：（1）連結OA、OB、OC、BD，根據切線的性質得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根據菱形的性質得BA=BC，然后根據“SSS”可判斷△ABO≌△CBO，則∠BCO=∠BAO=90°，于是可根據切線的判定方法即可得到結論；
（2）由△ABO≌△CBO得∠AOB=∠COB，則∠AOB=∠COB，由于菱形的對角線平分對角，所以點O在BD上，利用三角形外角性質有∠BOC=∠ODC+∠OCD，則∠BOC=2∠ODC，
由于CB=CD，則∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根據∠BOC+∠OBC=90°可計算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC計算即可．

解答：（1）證明：連結OA、OB、OC、BD，如圖，
∵AB與⊙O切于A點，
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BA=BC，
在△ABO和△CBO中

AB=CB OA=OC OB=OB

，
∴△ABO≌△CBO（SSS），
∴∠BCO=∠BAO=90°，
∴OC⊥BC，
∴BC為⊙O的切線；

（2）解：∵△ABO≌△CBO，
∴∠AOB=∠COB，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BD平分∠ABC，DA=DC，
∴點O在BD上，
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，
而OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠BOC=2∠ODC，
而CB=CD，
∴∠OBC=∠ODC，
∴∠BOC=2∠OBC，
∵∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠OBC=30°，
∴∠ABC=2∠OBC=60°．

點評：本題考查了切線的判定與性質：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了全等三角形相似的判定與性質以及菱形的性質．