Question

（2013•珠海）如圖，正方形ABCD的邊長為1，順次連接正方形ABCD四邊的中點得到第一個正方形A₁B₁C₁D₁，由順次連接正方形A₁B₁C₁D₁四邊的中點得到第二個正方形A₂B₂C₂D₂…，以此類推，則第六個正方形A₆B₆C₆D₆周長是

1

2

．

Answer 1

分析：根據題意，利用中位線定理可證明順次連接正方形ABCD四邊中點得正方形A₁B₁C₁D₁的面積為正方形ABCD面積的一半，根據面積關系可得周長關系，以此類推可得正方形A₆B₆C₆D₆ 的周長．

解答：解：順次連接正方形ABCD四邊的中點得正方形A₁B₁C₁D₁，則得正方形A₁B₁C₁D₁的面積為正方形ABCD面積的一半，即

1

2

，則周長是原來的

2

2

；
順次連接正方形A₁B₁C₁D₁中點得正方形A₂B₂C₂D₂，則正方形A₂B₂C₂D₂的面積為正方形A₁B₁C₁D₁面積的一半，即

1

4

，則周長是原來的

1

2

；
順次連接正方形A₂B₂C₂D₂得正方形A₃B₃C₃D₃，則正方形A₃B₃C₃D₃的面積為正方形A₂B₂C₂D₂面積的一半，即

1

8

，則周長是原來的

2

4

；
順次連接正方形A₃B₃C₃D₃中點得正方形A₄B₄C₄D₄，則正方形A₄B₄C₄D₄的面積為正方形A₃B₃C₃D₃面積的一半

1

16

，則周長是原來的

1

4

；
…
故第n個正方形周長是原來的

1 2n

，
以此類推：第六個正方形A₆B₆C₆D₆周長是原來的

1

8

，
∵正方形ABCD的邊長為1，
∴周長為4，
∴第六個正方形A₆B₆C₆D₆周長是

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查了利用了三角形的中位線的性質，相似圖形的面積比等于相似比的平方的性質．進而得到周長關系．