Question

2．如圖，在直角坐標系xOy中，O為坐標原點，直線y=kx-$\sqrt{3}$k+3交y軸正半軸于點B，交x軸于點A．
（1）試說明點C（$\sqrt{3}$，3）一定在直線AB上；
（2）試探索：當原點O到直線AB的距離取得最大值時，
①求出此時直線AB的解析式；
②在第一象限內(nèi)的點P，滿足△POB與△ABO相似．請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．（不必寫出解答過程）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到當x=$\sqrt{3}$時，y=k×$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$k+3=3，即可得到結(jié)論；
（2）①當OC⊥AB時，點O到直線AB的距離最大，如圖1，過點C任作一條異于直線AB的直線DE，并過點O作OF⊥DE于點F，則在Rt△△OCF中，斜邊OC＞OF，于是得到當點C與F重合，即OC⊥AB時，點O到直線AB的距離最大，此時OC=$\sqrt{（0-\sqrt{3}）^{2}+（0-3）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，如圖2，過點C作CD⊥x軸于點D，由C（$\sqrt{3}$，3），則∠COD=60°在Rt△AOC中，∠CAO=30°，OC=2$\sqrt{3}$，求得OA=4$\sqrt{3}$，得到A（4$\sqrt{3}$，0），代入即可得到結(jié)論；
②當∠OBP=90°時，如圖3，（Ⅰ）若△BOP∽△BAO，則∠BOP=∠BAO=30°，解直角三角形得到BP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，求得P₂（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，4），（Ⅱ）若△BPO∽△BAO，則∠BPO=∠BAO=30°，解直角三角形得到BP=$\sqrt{3}$OB=4$\sqrt{3}$，求得P₁（4$\sqrt{3}$，4）；當∠OPB=90°時（Ⅲ）過點P作OP⊥BA于點P，如圖4，此時△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°過點P作PM⊥OA于點M．在Rt△PBO中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BP=$\frac{1}{2}$OB=2，OP=$\sqrt{3}$BP=2$\sqrt{3}$，在Rt△PMO中，∠OPM=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OM=$\frac{1}{2}$OP=$\sqrt{3}$，PM=$\sqrt{3}$OM=3，求得P₃（$\sqrt{3}$，3），（Ⅳ）若△POB∽△OBA，如圖4，則∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．解直角三角形得到PM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OM=1，求得P₄（$\sqrt{3}$，1），當∠POB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．

解答 解：（1）依題意，得
當x=$\sqrt{3}$時，y=k×$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$k+3=3，
∴點C（$\sqrt{3}$，3）一定在直線AB上；

（2）①當OC⊥AB時，點O到直線AB的距離最大，
如圖1，過點C任作一條異于直線AB的直線DE，并過點O作OF⊥DE于點F，
則在Rt△△OCF中，斜邊OC＞OF，
∴當點C與F重合，即OC⊥AB時，點O到直線AB的距離最大，
此時OC=$\sqrt{（0-\sqrt{3}）^{2}+（0-3）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
如圖2，過點C作CD⊥x軸于點D，
∵C（$\sqrt{3}$，3），則∠COD=60°
在Rt△AOC中，∠CAO=30°，OC=2$\sqrt{3}$，
∴OA=4$\sqrt{3}$，圖1
∴A（4$\sqrt{3}$，0），
∴0=4$\sqrt{3}$k-$\sqrt{3}$k+3解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4；

②當∠OBP=90°時，如圖3，
（Ⅰ）若△BOP∽△BAO，
則∠BOP=∠BAO=30°，BP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴P₂（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，4），
（Ⅱ）若△BPO∽△BAO，
則∠BPO=∠BAO=30°，BP=$\sqrt{3}$OB=4$\sqrt{3}$，
∴P₁（4$\sqrt{3}$，4）；
當∠OPB=90°時
（Ⅲ）過點P作OP⊥BA于點P，如圖4，
此時△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°
過點P作PM⊥OA于點M．
在Rt△PBO中，BP=$\frac{1}{2}$OB=2，
OP=$\sqrt{3}$BP=2$\sqrt{3}$，
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=$\frac{1}{2}$OP=$\sqrt{3}$，PM=$\sqrt{3}$OM=3，
∴P₃（$\sqrt{3}$，3），
（Ⅳ）若△POB∽△OBA，如圖4，
則∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．
∴PM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OM=1，
∴P₄（$\sqrt{3}$，1），
當∠POB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．
綜合得，符合條件的點有四個，分別是p₂（$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，4），p₁（4$\sqrt{3}$，4），p₃（$\sqrt{3}$，3），p₄（$\sqrt{3}$，1）．

點評 本題綜合考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和相似三角形的有關(guān)知識，解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法．