Question

4．如果兩個一次函數y=k₁x+b₁和y=k₂x+b₂滿足k₁=k₂，b₁≠b₂，那么稱這兩個一次函數為“平行一次函數”．
已知函數y=-2x+4的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，一次函數y=kx+b與y=-2x+4是“平行一次函數”
（1）若函數y=kx+b的圖象過點（3，1），求b的值；
（2）若函數y=kx+b的圖象與兩坐標軸圍成的面積是△AOB面積的$\frac{1}{4}$，求y=kx+b的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據“平行一次函數”的定義即可得出k=-2，再由點（3，1）利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出b值；
（2）分別令y=-2x+4中x=0、y=0求出與之對應的y、x值，即找出點A、B的坐標，利用三角形的面積公式求出S_△AOB，同理找出函數y=kx+b的圖象與兩坐標軸圍成的面積，根據兩面積間的關系即可求出b值．

解答 解：（1）∵一次函數y=kx+b與y=-2x+4是“平行一次函數”，
∴k=-2，即y=-2x+b．
∵函數y=kx+b的圖象過點（3，1），
∴1=-2×3+b，
∴b=7．
（2）在y=-2x+4中，令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，
∴A（2，0），B（0，4），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=4．
由（1）知k=-2，則直線y=-2x+b與兩坐標軸交點的坐標為（$\frac{2}$，0），（0，b），
于是有$\frac{1}{2}$|b|•|$\frac{2}$|=4×$\frac{1}{4}$=1，
∴b=±2，
即y=kx+b的解析式為y=-2x+2或y=-2x-2．

點評 本題考查了兩直線相交或平行問題、三角形的面積公式以及一次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標利用一次函數圖象上點的坐標特征得出關于b的一元一次方程；（2）根據面積間的關系找出關于b的方程．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據三角形的面積公式結合面積間的關系找出方程是關鍵．