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如圖,已知點D為等腰直角△ABC內一點,∠CAD=∠CBD=15°,E為AD延長線上的一點,且CE=CA.
(1)求證:DE平分∠BDC;
(2)若點M在DE上,且DC=DM,求證:ME=BD.

【答案】分析:(1)根據等腰直角△ABC,求出CD是邊AB的垂直平分線,求出CD平分∠ACB,根據三角形的外角性質求出∠BDE=∠CDE=60°即可.
(2)連接MC,可得△MDC是等邊三角形,可求證∠EMC=∠ADC.再證明△ADC≌△EMC即可.
解答:明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵∠CAD=∠CBD=15°,
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°,
∴BD=AD,
∴D在AB的垂直平分線上,
∵AC=BC,
∴C也在AB的垂直平分線上,
即直線CD是AB的垂直平分線,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠CDE=15°+45°=60°,
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°;
∴∠CDE=∠BDE,
即DE平分∠BDC.


(2)如圖,連接MC.
∵DC=DM,且∠MDC=60°,
∴△MDC是等邊三角形,即CM=CD.∠DMC=∠MDC=60°,
∵∠ADC+∠MDC=180°,∠DMC+∠EMC=180°,
∴∠EMC=∠ADC.
又∵CE=CA,
∴∠DAC=∠CEM.
在△ADC與△EMC中,
,
∴△ADC≌△EMC(AAS),
∴ME=AD=BD.
點評:此題主要考查等腰直角三角形,全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質的等知識點,難易程度適中,是一道很典型的題目.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,已知點D為等腰直角△ABC內一點,∠CAD=∠CBD=15°.
(1)求證:AD=BD;
(2)E為AD延長線上的一點,且CE=CA,求證:AD+CD=DE;
(3)當BD=2時,AC的長為
 
.(直接填出結果,不要求寫過程)

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,已知點D為等腰直角△ABC內一點,∠CAD=∠CBD=15°,E為AD延長線上的一點,且CE=CA.
(1)求證:DE平分∠BDC;
(2)若點M在DE上,且DC=DM,求證:ME=BD.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2012•梁子湖區模擬)如圖,已知點D為等腰直角△ABC內一點,∠CAD=∠CBD=15°,E為AD延長線上的一點,且CE=CA.若點M在DE上,且DC=DM,試探究線段ME與BD的數量關系,并說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,已知點D為等腰直角△ABC內一點,AC=BC,∠CAD=∠CBD=15°,E為AD延長線上的一點,且CE=CA.若DE=acm,BD=bcm(a>b),則CD=
a-b
a-b
cm.

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科目:初中數學 來源:2011-2012年江蘇蘇州立達中學七年級下期末考試數學試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知點D為等腰直角△ABC內一點,∠ACB=90°,∠CAD=∠CBD=15°,EAD延長線上的一點,且CECA

(1)求證:DE平分∠BDC;

(2)若點MDE上,且DC=DM,求證: ME=BD

 

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