Question

（2012•梁子湖區模擬）如圖，已知點D為等腰直角△ABC內一點，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點，且CE=CA．若點M在DE上，且DC=DM，試探究線段ME與BD的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：連接CM，求出∠DAB=∠DBA=30°，求出AD=BD，證△ADC≌△BDC，求出∠ACD=∠BCD=45°，求出∠MDC=60°，的等邊三角形CMD，得出CM=CD，求出∠EMC=∠ADC=120°，證△ADC≌△EMC，推出AD=EM即可．

解答：解：連接MC，在等腰直角△ABC中，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，又AC=BC
∴△BDC≌△ADC（SSS），
∴∠DCA=∠DCB=45°，
∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，
∵DC=DM，
∴△MDC是等邊三角形，即CM=CD．
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM=15°，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=DB，
∴ME=BD．

點評：本題考查了等邊三角形的性質和判定，直角三角形，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目比較好，但是有一定的難度．