Question

如圖，已知點D為等腰直角△ABC內一點，∠ACB=90°,∠CAD＝∠CBD＝15°，E為AD延長線上的一點，且CE＝CA．

（1）求證：DE平分∠BDC；

（2）若點M在DE上，且DC=DM，求證： ME=BD．

 

Answer 1

【答案】

證明見解析

【解析】（1）在等腰直角△ABC中，

∵AC=BC

∵∠CAD=∠CBD=15^o，

∴∠BAD=∠ABD=45^o-15^o=30^o，

∴BD=AD，

在△BDC和△ACD中

∴△BDC≌△ADC，   

∴∠DCA=∠DCB=45^o．          

由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30^o+30^o=60^o，

∠EDC=∠DAC+∠DCA=15^o+45^o=60^o，

∴∠BDM=∠EDC，

∴DE平分∠BDC；              

（2）如圖，連接MC，

∵DC=DM，且∠MDC=60°，

∴△MDC是等邊三角形，即CM=CD．   

又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，

∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，

∴∠EMC=∠ADC．                    

又∵CE=CA，

∴∠DAC=∠CEM=15°，

∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．      

 (1)靈活運用等腰三角形的性質，全等三角形的判定及全等三角形的性質，計算∠BDM和∠EDC的度數即可

（2）綜合運用等邊三角形的判定和它的性質，找全等三角形的條件即可

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