Question

如圖，已知點D為等腰直角△ABC內一點，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點，且CE=CA．
（1）求證：DE平分∠BDC；
（2）若點M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD．

Answer 1

分析：（1）根據等腰直角△ABC，求出CD是邊AB的垂直平分線，求出CD平分∠ACB，根據三角形的外角性質求出∠BDE=∠CDE=60°即可．
（2）連接MC，可得△MDC是等邊三角形，可求證∠EMC=∠ADC．再證明△ADC≌△EMC即可．

解答：證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，∠ABD=∠ABC-15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分線上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分線上，
即直線CD是AB的垂直平分線，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；
∴∠CDE=∠BDE，
即DE平分∠BDC．

（2）如圖，連接MC．

∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等邊三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°，
∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM．
在△ADC與△EMC中，

∠ADC=∠EMC ∠DAC=∠MEC AC=EC

，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=BD．

點評：此題主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質的等知識點，難易程度適中，是一道很典型的題目．