Question

某房地產開發公司計劃建A、B兩種戶型的住房共80套，該公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，且所籌資金全部用于建房，兩種戶型的建房成本和售價如下表：

	A	B
成本（萬元/套）	25	28
售價（萬元/套）	30	34

（1）該公司對這兩種戶型住房有哪幾種建房方案？
（2）該公司如何建房獲得利潤最大？
（3）根據市場調查，每套B型住房的售價不會改變，每套A型住房的售價將會提高a萬元（a＞0），且所建的兩種住房可全部售出，該公司又將如何建房獲得利潤最大？
注：利潤=售價-成本．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據“該公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元”，列出不等式進行求解，確定建房方案；
（2）根據：利潤=售價-成本，利潤就可以寫成關于x的函數，根據函數的性質，就可以求出函數的最大值；
（3）利潤W可以用含a的代數式表示出來，對a進行分類討論．
解答：解：（1）設A種戶型的住房建x套，則B種戶型的住房建（80-x）套．
由題意知2090≤25x+28（80-x）≤2096
解得48≤x≤50
∵x取非負整數，∴x為48，49，50．
∴有三種建房方案：
方案一：A種戶型的住房建48套，B種戶型的住房建32套，
方案二：A種戶型的住房建49套，B種戶型的住房建31套，
方案三：A種戶型的住房建50套，B種戶型的住房建30套；

（2）設該公司建房獲得利潤W（萬元）．
由題意知W=（30-25）x+（34-28）（80-x）=5x+6（80-x）=480-x，
∴當x=48時，W_最大=432（萬元）
即A型住房48套，B型住房32套獲得利潤最大；

（3）由題意知W=（5+a）x+6（80-x）
=480+（a-1）x
∴當0＜a＜1時，x=48，W最大，即A型住房建48套，B型住房建32套．
當a=1時，a-1=0，三種建房方案獲得利潤相等．
當a＞1時，x=50，W最大，即A型住房建50套，B型住房建30套．
點評：本題主要考查不等式在現實生活中的應用，是一個函數與不等式相結合的問題．在運算過程中要注意對a進行分類討論．