Question

使得函數值為零的自變量的值稱為函數的零點。例如，對于函y=x-1數，令y=0，可得x=1，我們就說1是函數y=x-1的零點。
己知函數y=x²-2mx-2（m+3）（m為常數）。
（1）當m=0時，求該函數的零點；
（2）證明：無論m取何值，該函數總有兩個零點；
（3）設函數的兩個零點分別為x₁和x₂，且，此時函數圖象與x軸的交點分別為A、B（點A在點B左側），點M在直線y=x-10上，當MA+MB最小時，求直線AM的函數解析式。

Answer 1

解：（1）當m=0時，該函數為，令y=0，可得，
∴當m=0時，求該函數的零點為和-；
（2）令y=0，得△=，
∴無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根，即無論m取何值，該函數總有兩個零點；
（3）依題意有，,
由得，即，解得，
∴函數的解析式為，
令y=0，解得，
∵點A在點B左側，
∴A（-2，0），B（4，0），
作點B關于直線y=x-10的對稱點B′，連結AB′，則AB′與直線y=x-10足條件的M點，
易求得直線y=x-10與x軸、y軸點分別為C（10，0），D（0，10），
連結CB′，則∠BCD=45°，
∴BC=CB′=6，∠B′CD=∠BCD=45°，
∴∠BCB′=90°，
即B′（10，-6），
設直線AB′的解析式為，
則，
解得
∴直線AB′的解析式為，即AM的解析式為。