Question

10．如圖，已知矩形OABC中，點A（2，0）、C（0，1）．點D是邊BC的中點，過點D作DE⊥OA于點E，雙曲線y=$\frac{k}{x}$過點D交AB于點G，直線AC交DE于點F，連接DG、FG．
（1）求點D的坐標；
（2）求k的值與直線AC的解析式；
（3）求四邊形DCFG的面積．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質和中點的定義容易得出結果；
（2）由點D的證明求出k的值，由待定系數法求出直線AC的解析式即可；
（3）由矩形的性質得出BC=OA，BC∥OA，AB=OC=1，求出G點坐標為（2，$\frac{1}{2}$），得出G是AB的中點，證明四邊形DCFG是平行四邊形，即可求出面積．

解答 解：（1）∵矩形OABC中，點A（2，0）、C（0，1），點D是BC的中點，
∴D（1，1），
（2）∵點D在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=1×1=1，
∴反比例函數的解析式為；y=$\frac{1}{x}$．
設直線AC的解析式為y=ax+b，
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1；
（3）∵四邊形OABC是矩形，點A（2，0），
∴BC=OA，BC∥OA，AB=OC=1，
當x=2時，y=$\frac{1}{2}$，
∴G點坐標為（2，$\frac{1}{2}$），
∴G是AB的中點，
∵點D是邊BC的中點，DE⊥OA，
∴E是OA的中點，
∴CD=AE，
∵BC∥OA，
∴DF：EF=CD：AE=1：1，
∴DF=EF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$，
∴FG∥CD，FG=AE=CD，
∴四邊形DCFG是平行四邊形，
∴四邊形DCFG的面積=CD•DF=1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查的是反比例函數與一次函數的交點、待定系數法求函數解析式、矩形的性質、平行四邊形的判定與性質等知識；熟練掌握矩形的性質，求出函數解析式是解決問題的關鍵．