Question

5．已知：關于x的一元二次方程kx²+（2k+1）x+2=0（k≠0）．
（1）求證：方程總有兩個實數根；
（2）若方程兩個根均為整數，且k為正整數，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據一元二次方程的定義得k≠0，再計算判別式得到△=（2k-1）²，然后根據非負數的性質即k的取值得到△≥0，則可根據判別式的意義得到結論；
（2）根據因式分解法求出方程的根，方程的兩個實數根都是整數，且k為正整數，求出k的值．

解答 解：（1）∵△=（2k+1）²-4k×2=（2k-1）²，1
∵（2k-1）²≥0，
∴△≥0．
∵k≠0，
∴原方程總有兩個實數根．
（2）kx²+（2k+1）x+2=0，
（x+2）（kx+1）=0，
解方程得x₁=-2，x₂=$-\frac{1}{k}$，
∵方程有兩個整數根，
∴k=±1，
∵k為正整數，
∴k=1．

點評 本題主要考查了根的判別式的知識，熟知一元二次方程的根與△的關系是解答此題的關鍵，此題難度不大．