Question

13．如圖，已知反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點A （-1，a），過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，△AOB的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求a、k的值；
（2）若一次函數y=mx+n圖象經過點A和反比例函數圖象上另一點C （t，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），且與x軸交于M點，求AM的值；
（3）在（2）的條件下，如果以線段AM為一邊作等邊△AMN，頂點N在一次數函數y=bx上，則b=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據點A的坐標以及三角形的面積公式即可求出a值，再根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出k的值；
（2）根據反比例函數解析式可求出點C的坐標，由點A、C的坐標利用待定系數法即可求出直線AM的解析式，令線AM的解析式中y=0求出x值，即可得出點M的坐標，再利用勾股定理即可求出線段AM的長度；
（3）設點N的坐標為（m，n），由等邊三角形的性質結合兩點間的距離公式即可得出關于m、n的二元二次方程組，解方程組即可得出n與m之間的關系，由此即可得出b值．

解答 解：（1）∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×1×a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=$\sqrt{3}$．
∴點A（-1，$\sqrt{3}$）．
∵反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點A （-1，$\sqrt{3}$），
∴k=-$\sqrt{3}$．
（2）∵C （t，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）在反比例函數y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$的圖象上，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t=-$\sqrt{3}$，解得：t=3，
∴C（3，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
將A（-1，$\sqrt{3}$）、C（3，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）代入y=mx+n中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=-m+n}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}=3m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{n=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AM的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
令y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$中y=0，則x=2，
∴M（2，0）．
在Rt△ABM中，AB=$\sqrt{3}$，BM=2-（-1）=3，
∴AM=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
（3）設點N的坐標為（m，n），
∵△AMN為等邊三角形，且AM=2$\sqrt{3}$，A（-1，$\sqrt{3}$），M（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{AN=\sqrt{（m+1）^{2}+（n-\sqrt{3}）^{2}}=2\sqrt{3}}\\{MN=\sqrt{（m-2）^{2}+{n}^{2}}=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：n=$\sqrt{3}$m．
∵頂點N（m，n）在一次數函數y=bx上，
∴b=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角形的面積公式、反比例函數圖象上點的坐標特征、勾股定理以及解二元二次方程組，解題的關鍵是：（1）求出點A的坐標；（2）求出點M的坐標；（3）根據等邊三角形的性質找出關于m、n的二元二次方程組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據等邊三角形的性質利用兩點間的距離公式找出點的橫縱坐標之間的關系是關鍵．