Question

1．如圖，矩形OABC的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標為（10，8），沿直線OD折疊矩形，使點A正好落在BC上的E處，拋物線y=ax²+bx+c經過點O，A，E三點．
（1）求此拋物線的解析式和AD的長；
（2）點P是此拋物線的對稱軸上一動點．
①求當△PAD的周長最小時，點P的坐標；
②若點Q是拋物線上的點，以點P、Q、O、D為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能，請直接寫出此時點P、Q的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質，得到A（10，0），C（0，8），再由折疊可知：AD=ED，OA=OE=10，最后用勾股定理計算即可；                 
（2）由拋物線y=ax²+bx+c與x軸兩交點是O（0，0）、A（10，0）用交點式設解析式，用待定系數法即可；
（3）以點P、Q、O、D為頂點的四邊形能成為平行四邊形，分兩種情況討論：①若OD是平行四邊形的對角線，判斷出點P一定是拋物線的頂點
②OD是平行四邊形的一條邊．利用平行四邊形的對邊平行且相等，即可．

解答 解：（1）點B的坐標為（10，8），
由矩形的性質，得A（10，0）．
設AD=x，則DE=x，BD=8-x．
由折疊可知，OE=OA=10，∠OED=90°，
∴CE=6，BE=4，
∴E（6，8）．
∵拋物線y=ax²+bx+c經過點O、A、E三點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{100a+10b+c=0}\\{36a+6b+c=0}\end{array}\right.$    
解得   $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{10}{3}$x．
∵四邊形OABC是矩形，∠OED=90°，
∴∠CE0=∠BDE，
∴sin∠CE0=sin∠BDE，
即   $\frac{CO}{OE}=\frac{BE}{DE}$，
∴$\frac{8}{10}=\frac{4}{x}$，
得   x=5．
∴AD=5．
（2）∵AD=5，
∴D（10，5），△PAD的周長=AP+PD+AD=AP+PD+5．
依題意，要使AP+PD最小，則直線OD與拋物線的對稱軸的交點就是P點．
設直線OD的解析式為y=kx，則有5=10k，
解得   k=$\frac{1}{2}$．
∴直線OD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x．
由拋物線的對稱性可知，此拋物線的對稱軸為x=5．
∴點P的縱坐標為y=$\frac{1}{2}$x=y=$\frac{1}{2}$×5=y=$\frac{5}{2}$．
即P（5，$\frac{5}{2}$）．
（3）能成為平行四邊形．此時點P、Q的坐標有三對，即
能成為平行四邊形．
①若OD是平行四邊形的對角線時：
由于拋物線的對稱軸經過OD的中點，
∴當平行四邊形OPDQ的頂點P在拋物線的對稱軸上時，點Q也在拋物線的對稱軸上，又點Q在拋物線上，故點P一定是拋物線的頂點．
∴Q （5，$\frac{25}{3}$）
又因為平行四邊形的對角線互相平分，
所以，線段PQ必被OD的中點（5，$\frac{5}{2}$）平分
∴P（5，-$\frac{10}{3}$），
此時P（5，-$\frac{10}{3}$），Q （5，$\frac{25}{3}$）
②若OD是平行四邊形的一條邊時：
在平行四邊形ODPQ中，OD∥PQ且OD=PQ
設P（5，m），則Q（5-10，m-5）
將Q（5-10，m-5）代入拋物線解析式中，
解得m=-20
∴P（5，-20），Q（-5，-25）
在平行四邊形ODQP中，OD∥PQ且OD=PQ
設P（5，m），則Q（10+5，5+m）
將（10+5，5+m）代入拋物線解析式中，
解得m=-30
∴P（5，-30），Q（15，-25），
綜上：符合條件的點P、Q有3對，即
P₁（5，-20），Q₁（-5，-25）；P₂（5，-30），Q₂（15，-25）；
P₃（5，-$\frac{10}{3}$），Q₃（5，$\frac{25}{3}$）．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法確定函數解析式，平行四邊形的性質，分OD為平行四邊形的邊和對角線兩種是解本題的難點