Question

6．如圖，已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx與直線y=2x交于點O（0，0），A（a，12）．

（1）求拋物線的解析式．
（2）點B是拋物線上O、A之間的一個動點，過點B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交于點C、E，以BE、BC為邊構(gòu)造矩形BCDE，設(shè)點D的坐標為（m，n），求m，n之間的關(guān)系式．
（3）將射線OA繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后與拋物線交于點P，求P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）把點A的坐標代入一次函數(shù)解析式求得a的值；然后把點A的坐標代入二次函數(shù)解析式來求b的值即可；
（2）根據(jù)點D的坐標，可得出點E的坐標，點C的坐標，繼而確定點B的坐標，將點B的坐標代入拋物線解析式可求出m，n之間的關(guān)系式；
（3）如圖2，作∠POA=45°，交拋物線與P，過P作PQ⊥OA于Q，過P作PM⊥x軸于M，過Q作QN⊥PM于N交y軸于R，構(gòu)建全等三角形△PNQ≌△QRO，結(jié)合全等三角形的對應邊相等和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征來求點P的坐標．

解答 解：（1）∵點A（a，12）在直線y=2x上，
∴12=2a，
解得：a=6，
又∵點A是拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx上的一點，
將點A（6，12）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx，可得b=-1，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x；

（2）如圖1，∵直線OA的解析式為：y=2x，點D的坐標為（m，n），
∴點E的坐標為（$\frac{1}{2}$n，n），點C的坐標為（m，2m），
∴點B的坐標為（$\frac{1}{2}$n，2m），
把點B（$\frac{1}{2}$n，2m）代入y=$\frac{1}{2}$x²-x，可得m=$\frac{1}{16}$n²-$\frac{1}{4}$n，
∴m、n之間的關(guān)系式為m=$\frac{1}{16}$n²-$\frac{1}{4}$n；

（3）如圖2，作∠POA=45°，交拋物線與P，過P作PQ⊥OA于Q，過P作PM⊥x軸于M，過Q作QN⊥PM于N交y軸于R，

則△PNQ≌△QRO，
所以NQ=RO，PN=QR，
設(shè)Q點為（t，2t），則P為（-t，3t），代入拋物線解析式得$\frac{1}{2}$t²+t=3t，
解得：t₁=0，t₂=4，
∵t＞0，
∴P點的坐標為（-4，12）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，需要掌握矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的知識，解答本題需要同學們能理解矩形四個頂點的坐標之間的關(guān)系．