Question

11．如圖，正方形ABCD和直角△ABE，∠AEB=90°，將△ABE繞點O旋轉180°得到△CDF．
（1）在圖中畫出點O和△CDF，并簡要說明作圖過程；
（2）若AE=8，AB=10，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）連接AC和BD，根據中心對稱的性質可判斷它們的交點為旋轉中心O，延長EO到F，使FO=EO，則△CDF滿足條件；
（2）過點O作OG⊥OE與EB的延長線交于點G，如圖，先利用勾股定理計算出BE=6，再利用正方形的性質得OA=OB，∠AOB=90°，則∠AOE=∠BOG，接著根據三角形內角和得到∠GBO=∠EAO，于是可判斷△EAO≌△GBO，所以AE=BG=8，OE=OG，然后判斷△GEO為等腰直角三角形，則可得到OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（BG-BE）=$\sqrt{2}$，從而得到EF=2$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）連接AC和BD，則它們的交點為旋轉中心O，延長EO到F，使FO=EO，
如圖，點O和△CDF為所作；
（2）過點O作OG⊥OE與EB的延長線交于點G，如圖，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
而∠EOG=90°，
∴∠AOE=∠BOG，
∵∠AEB=∠AOB=90°，
∴∠GBO=∠EAO，
∴在△EAO和△GBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠GBO}\\{OA=OB}\\{∠AOE=∠BOG}\end{array}\right.$
∴△EAO≌△GBO，
∴AE=BG=8，OE=OG，
∴△GEO為等腰直角三角形，
∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（BG-BE）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（8-6）=$\sqrt{2}$，
∴EF=2OE=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了作圖-旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．也考查了正方形的性質．