Question

16．某中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊周長為30米的籬笆圍成．已知墻長為20米（如圖所示），設這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米
（1）若苗圃園的面積為108平方米，求x．
（2）若平行于墻的一邊長不小于8米，這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎？如果有，求出最大值和最小值；如果沒有，請說明理由．
（3）當這個苗圃園的面積不小于72平方米時，直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據題意可以得到關于x的方程，從而可以求得x的值；
（2）根據題意可得到面積與平行于墻的一邊長的函數關系式，從而可以解答本題；
（3）根據題意可以得到相應的不等式，從而可以解答本題．

解答 解：（1）由題意可得，
x（30-2x）=108，
解得，x₁=6，x₂=9，
當x=6時，30-2x=18＜20，
當x=9時，30-2x=12＜20，
即x的值是6或9；
（2）設矩形的面積為y平方米，平行于墻的一邊長為a米，
y=a（$\frac{30-a}{2}$）=-$\frac{1}{2}（a-15）^{2}+\frac{225}{2}$，
∵8≤a≤20，
∴當a=15時，y取得最大值，此時y=$\frac{225}{2}$，
當a=8時，y取得最小值，此時y=88，
即平行于墻的一邊長不小于8米，這個苗圃園的面積有最大值和最小值，最大值是$\frac{225}{2}$平方米，最小值是88平方米；
（3）由題意可得，
x（30-2x）≥72，
解得，3≤x≤12，
又∵30-2x≤20，
解得，x≥5，
∴當這個苗圃園的面積不小于72平方米時，x的取值范圍是5≤x≤12．

點評 本題考查二次函數的應用、一元二次方程的應用、解不等式，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．