Question

7．如圖，拋物線y=a（x-1）²+k過坐標原點，頂點為B，交x軸于另一點A，且△OAB為等腰直角三角形．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若M為y軸負半軸上一點，過點M分別作直線MC，MD，且MC，MD都與拋物線有且只有一個公共點，點C，D均在拋物線上．
①探究：若M點的坐標為（0，-1），求N點的坐標；
②猜想：當M點在y軸負半軸上運動時，線段OM與ON相等嗎？試取M（0，-t²）證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）由題意可知B（1，-1），A（2，0），利用待定系數法即可解決問題．
（2）①設過點M的直線的解析式為y=kx-1，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$消去y得到x²-（2+k）x+1=0，根據△=0時求得k=-4或0，再求出C、D兩點坐標即可解決問題．
②結論：OM=ON．設M（0，-t²），過點M的直線的解析式為y=kx-t²，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-{t}^{2}}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$消去y得到x²-（2+k）x+t²=0，由題意△=0時，（2+k）²-4t²=0，
解得k=2t-2或-2t-2，再求出C、D兩點坐標，根據對稱性即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=a（x-1）²+k過坐標原點，頂點為B，交x軸于另一點A，且△OAB為等腰直角三角形，
∴對稱軸x=1，A（2，0），B（1，-1），
∴k=-1，
∴拋物線的解析式為y=a（x-1）²-1，把A（2，0）代入得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x．

（2）①設過點M的直線的解析式為y=kx-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$，消去y得到x²-（2+k）x+1=0，
由題意△=0時，（2+k）²-4=0，解得k=-4或0，
k=-4時，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x-1}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴C（-1，3），
k=0時，直線DM∥x軸，D（1，-1），
∵C（-1，3），D（1，-1），
∴點N是線段CD的中點，N（0，1）．

②結論：OM=ON．
理由：設M（0，-t²），過點M的直線的解析式為y=kx-t²，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-{t}^{2}}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$消去y得到x²-（2+k）x+t²=0，
由題意△=0時，（2+k）²-4t²=0，
解得k=2t-2或-2t-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=（2t-2）x-{t}^{2}}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y={t}^{2}-2t}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=（-2t-2）x-{t}^{2}}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y={t}^{2}+2t}\end{array}\right.$，
不妨設C（t，t²-2t），D（-t，t²+2t），
∵C、D兩點的橫坐標互為相反數，
∴NC=ND，
∴N（0，t²），
∴OM=ON=t²，
∴OM=ON．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、二元二次方程組，一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關鍵是把兩個函數圖象的交點問題，轉化為一元二次方程的根的個數問題，利用根的判別式解決交點個數問題，學會利用參數解決問題，屬于中考壓軸題．